Question

（2012•安徽模擬）如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點M與橢圓右焦點F₁的連線MF₁與x軸垂直，且OM（O是坐標原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過F₁且與AB垂直的直線交橢圓于P，Q，若△PF₂Q的面積是20

3

，求此時橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：（1）由題設知M（c，

b2

a

），kOM=

b2

ac

，kAB=

b

a

，故

b2

ac

=

b

a

，由此能求出橢圓的離心率．
（2）設直線PQ的方程為：y=-

a

b

(x-c)，代入橢圓方程，消去x得：5y2-2

2

cy-2c2=0，故y1+y2  =

2 2 c

5

，y1y2=-

2c2

5

，所以(y1-y2)2=(

2 2 c

5

)2+

8c2

5

=

48c2

25

，由△PF₂Q的面積是20

3

，能求出橢圓的標準方程．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點M與橢圓右焦點F₁的連線MF₁與x軸垂直，
且OM（O是坐標原點）與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行，
∴M（c，

b2

a

），kOM=

b2

ac

，kAB=

b

a

，
∴

b2

ac

=

b

a

，
∴b=c，∴a=

2

c，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（2）設直線PQ的方程為：y=-

a

b

(x-c)，
即y=-

2

(x-c)，
代入橢圓方程，消去x得：

(c- y 2 )2

a2

+

y2

b2

=1，
整理，得：5y2-2

2

cy-2c2=0，
∴y1+y2  =

2 2 c

5

，y1y2=-

2c2

5

，
(y1-y2)2=(

2 2 c

5

)2+

8c2

5

=

48c2

25

，
∴S△PF2Q=

1

2

•2c•|y1-y2|=

4 3 c2

5

=20

3

，
∴c²=25，∴a²=50，b²=25，
所以橢圓方程為：

x2

50

+

y2

25

=1．

點評：本題考查橢圓的離心率和標準方程的求法，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．