Question

設A₁、A₂為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右頂點，若在橢圓上存在異于A₁、A₂的點P，使得

PO

•

PA2

=0，其中O為坐標原點，則橢圓的離心率e的取值范圍是（　　）

• A、(0， 

  1

  2

  )
• B、(0， 

  2

  2

  )
• C、(

  1

  2

  ， 1)
• D、(

  2

  2

  ， 1)

Answer 1

分析：由

PO

•

PA2

=0，可得 y²=ax-x²＞0，故  0＜x＜a，代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，，結合圖形，求出橢圓的離心率e的范圍．

解答：解：A₁（-a，0），A₂（a，0），設P（x，y），則

PO

=（-x，-y），

PA 2

=（a-x，-y），
∵

PO

•

PA2

=0，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y²=ax-x²＞0，∴0＜x＜a．
代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，整理得（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b²-a²）x²+a³x-a²b²=0，∵f（0）=-a²b²＜0，f（a）=0，如圖：
△=（a³）²-4×（b²-a²）×（-a²b²）=a²（ a⁴-4a²b²+4b⁴ ）=a²（a²-2c²）²≥0，
∴對稱軸滿足 0＜-

a3

2(b2-a2)

＜a，即 0＜

a3

2(a2-b2)

＜a，∴

a2

2c2

＜1，

c2

a2

＞

1

2

，又  0＜

c

a

＜1，∴

2

2

＜

c

a

＜1，故選 D．
 

點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算法則，兩個向量的數量積公式，一元二次方程在一個區間上有實數根的條件，
體現了數形結合的數學思想．