Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.

（I）在平面PAB內找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；

(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力.第一問，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標系解出正弦值.

試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.

延長AB，DC，相交于點M（M∈平面PAB），點M即為所求的一個點.理由如下：

由已知，BC∥ED，且BC=ED.

所以四邊形BCDE是平行四邊形.

從而CM∥EB.

又EB平面PBE，CM平面PBE，

所以CM∥平面PBE.

（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）

（Ⅱ）方法一：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD.

從而CD⊥PD.

所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

設BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.

過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接PH.

易知PA⊥平面ABCD，

從而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.

所以APH是PA與平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，

所以AH=.

在Rt△PAH中，PH==，

所以sinAPH==.

方法二：

由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，

所以CD⊥平面PAD.

于是CD⊥PD.

從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.

設BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.

作Ay⊥AD，以A為原點，以,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，

所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）

設平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，

由得設x=2，解得n=(2,-2,1).

設直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα==.

所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.