Question

【題目】已知橢圓過點(diǎn), 離心率為,左右焦點(diǎn)分別為, 過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）當(dāng)的面積為時(shí), 求以為圓心且與直線相切的圓的方程.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓C的方程為 (2)

【解析】

（1）將點(diǎn)代入橢圓結(jié)合離心率列方程求解即可；

（2）①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知的面積為3，不符合題意；②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為與橢圓聯(lián)立，得到

，設(shè)，利用的面積為及，結(jié)合韋達(dá)定理即可得解.

（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)

所以

又因?yàn)殡x心率所以，

又

解①、②得

所以橢圓C的方程為

（2）①當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可得

的面積為3，不符合題意

②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為

代入橢圓的方程得

顯然成立，設(shè)

則

所以

用點(diǎn)到直線距離公式可得圓的半徑

所以的面積

化簡(jiǎn)得解得

所以，圓的方程為