Question

已知向量

a

=（sinx，-1），

b

=（

3

cosx，-

1

2

），函數f（x）=（

a

+

b

）•

a

-2．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期T：
（Ⅱ）若x∈[

π

6

，

5π

6

]，試求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意利用兩個向量的數量積公式，兩角和的正弦公式化簡函數f（x）的解析式為sin（2x-

π

6

），
由此求得函數的周期．
（Ⅱ）由x∈[

π

6

，

5π

6

]，可得

π

6

≤2x-

π

6

≤

3π

2

，由此求得f（x）=sin（2x-

π

6

）的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得，函數f（x）=（

a

+

b

）•

a

-2=

a

2+

a

•

b

-2=1+sin²x+

3

sinxcosx+

1

2

-2
=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

-

1

2

=sin（2x-

π

6

），
故函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）若x∈[

π

6

，

5π

6

]，

π

6

≤2x-

π

6

≤

3π

2

，故當2x-

π

6

=

3π

2

 時，f（x）取得最小值為-1，
當2x-

π

6

=

π

2

時，f（x）取得最大值為1，
故函數f（x）的取值范圍是[-1，1]．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，兩角和的正弦公式，正弦函數的定義域和值域以及周期性，屬于中檔題．