Question

（14分）如圖，矩形的兩條對角線相交于點，邊所在直線的方程為，點在邊所在直線上。

⑴求邊所在直線的方程；

⑵求矩形外接圓的方程；

⑶若動圓過點，且與矩形的外接圓外切，求動圓的圓心的軌跡方程。

 

Answer 1

【答案】

⑴

⑵

⑶

【解析】本試題主要是考查了直線方程的求解，以及圓的方程的求解和動點的軌跡方程的求解的綜合運用。

（1）因為因為邊所在直線的方程為，且與垂直所以直線的斜率為。（1分）又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程可以得到

（2）由直線方程與直線方程聯立方程組得到交點的坐標即為圓心的坐標，然后得到圓的半徑，進而得到結論。

（3）根據因為動圓過點，所以是該圓的半徑又因為動圓與圓外切所以,即結合定義法得到軌跡方程的求解。

解：⑴因為邊所在直線的方程為，且與垂直所以直線的斜率為。（1分）又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為，即。………（4分）

⑵由，解得點的坐標為……（5分）

因為矩形兩條對角線的交點為,所以為矩形外接圓的圓心又……………（7分）

從而矩形外接圓的方程為。…（8分）

⑶因為動圓過點，所以是該圓的半徑又因為動圓與圓外切所以,即………………………（10分）

故點的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線的左支……………（11分）

因為實半軸長，半焦距,所以虛半軸長………………………（13分）

從而動圓的圓心的軌跡方程為。………………………（14分）

注：沒注明條件扣1分。