Question

如圖,已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是以∠C為直角的等腰直角三角形,AC=BC=CC₁=2,M、N分別在棱CC₁、A₁B₁上,N是A₁B₁的中點.

(1)若M是CC₁的中點,求異面直線AN與BM所成的角;

(2)若點C關于平面ABM的對稱點恰好在平面ABB₁A₁上,試確定M點在CC₁上的位置.

Answer 1

解:(1)以CB、CA、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0),C₁(0,0,2),A₁(0,2,2),B₁(2,0,2),由于N是A₁B₁的中點,M是CC₁的中點,所以M(0,0,1),N(1,1,2).

    于是=(1,-1,2), =(-2,0,1),因此cos〈,〉==0,所以異面直線AN與BM所成的角等于90°.

    (2)設M(0,0,z)(01A₁上,取AB的中點D,連結CD、ND、MD,易知CD⊥AB,ND⊥AB,所以AB⊥平面C₁NDC,而AB平面ABM.所以平面ABM⊥平面C₁NDC.又平面ABM∩平面C₁NDC=DM,過C作CH⊥DM,則CH⊥平面ABM,延長CH至P,使PH=CH,則點P就是點C關于平面ABM的對稱點.

    所以P點在平面C₁NDC中,

    又P點恰好在平面ABB₁A₁上,

    所以P點應該在直線ND上.

    由于D(1,1,0),

    所以=(1,1,-z),而點H在線段MD上.

    所以設=λ·=(λ,λ,-λz),

    則=+=(λ,λ,z-λz).

    故=2=(2λ,2λ,2z-2λz),

    所以P(2λ,2λ,2z-2λz),

    于是=(2λ-1,2λ-1,2z-2λz),

    而=(0,0,2),

    由于P點應該在直線ND上,且DC=DP,

    所以

    解之,得z=.

    所以當點C關于平面ABM的對稱點恰好在平面ABB₁A₁上時,CM=.