Question

對于空間任一點O和不共線的三點A，B，C，有

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，則x+y+z=1是P，A，B，C四點共面的（　　）

A．必要不充分條件

B．充分不必要條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

Answer 1

分析：從共面向量定理出發，判斷對于空間任意一點O和不共線三點A，B，C，點P滿足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

，且x+y+z=1向量

AP

，

AB

，

AC

共面，得到P，A，B，C四點共面，可以是充分條件；再通過舉出反例得出反面不成立，即可得出答案．

解答：解：若x+y+z=1，則

OP

=（1-y-z）

OA

+y

OB

+z

OC

，即

AP

=y

AB

+z

AC

，
由共面定理可知向量

AP

，

AB

，

AC

共面，所以P，A，B，C四點共面；
反之，若P，A，B，C四點共面，當O與四個點中的一個（比如A點）重合時，

OA

=

0

，x可取任意值，不一定有x+y+z=1，
則x+y+z=1是P，A，B，C四點共面的充分不必要條件．
故選B．

點評：本題考查共線向量與共面向量定理，考查充要條件的判斷，考查計算能力，是基礎題．