Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁，且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直于l₁，垂足為點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）過橢圓C₁的左頂點A做直線m，與圓O相交于兩點R、S，若△ORS是鈍角三角形，求直線m的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先由離心率為

3

3

，求出a，b，c的關系，再利用直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切，求出b即可求橢圓C₁的方程；
（2）把題中條件轉化為動點M的軌跡是以l₁：x=-1為準線，F₂為焦點的拋物線，即可求點M的軌跡C₂的方程；
（3）先設出點R，S的坐標，利用△ORS是鈍角三角形，求得

OR

•

OS

＜0，即

OR

•

OS

=x1x2+y1y2，從而求出斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）由e=

3

3

，得

b2

a2

=1-e=

2

3

；（2分）
由直線l：x-y+2=0與圓x2+y2=b2相切，得

2

2

=|b|．所以，b=

2

，a=

3

所以橢圓的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．（4分）
（2）由條件，知|MF₂|=|MP|．即動點M到定點F₂的距離等于它到直線l₁：x=-1的距離，由拋物線的定義得點M的軌跡C₂的方程是y²=4x．                     （8分）
（3）由（1），得圓O的方程是x2+y2=2，A(-

3

，0)，直線m的方程是y=k(x+

3

)
設R(x1，y1)，S(x2，y2)，由

x2+y2=2 y=k(x+ 3 )

得(1+k2)x2+2

3

k2x+3k2-2=0（10分）
則x1+x2=-

2 3 k2

1+k2

，x1x2=

3k2-2

1+k2

；
由△=(2

3

k2)2-4(1+k2)(3k2-2)＞0，得-

2

＜k＜

2

．①（12分）
因為△ORS是鈍角三角形，所以

OR

•

OS

＜0，即

OR

•

OS

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+

3

)(x2+

3

)=(1+k2)x1x2+

3

k2(x1+x2)+3k2=

4k2-2

1+k2

＜0
所以-

2

2

＜k＜

2

2

．②（13分）
由A、R、S三點不共線，知k≠0．                              ③
由①、②、③，得直線m的斜率k的取值范圍是-

2

2

＜k＜

2

2

，且k≠0（14分）
（注：其它解法相應給分）

點評：本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解．，也可以把直線與圓的方程聯立讓對應方程的判別式為0求解．