Question

A、B是雙曲線x²－＝1上的兩點，點N(1,2)是線段AB的中點
(1)求直線AB的方程；
(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

Answer 1

(1)依題意，可設直線方程為y＝k(x－1)＋2
代入x²－＝1，整理得 (2－k)x²－2k(2－k)x－(2－k)²－2＝0   ①
記A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，則x₁、x₂是方程①的兩個不同的實數根，所以2－k²≠0,且x₁＋x₂＝
由N(1,2)是AB中點得(x₁＋x₂)＝1
∴ k(2－k)＝2－k²，解得k＝1，所易知 AB的方程為y＝x＋1.
(2)將k＝1代入方程①得x²－2x－3＝0，解出    x₁＝－1,x₂＝3，由y＝x＋1得y₁＝0,y₂＝4
即A、B的坐標分別為(－1,0)和(3，4)
由CD垂直平分AB，得直線CD的方程為y＝－(x－1)＋2，即 y＝3－x ，代入雙曲線方程，整理，
得  x²＋6x－11＝0    ②
記C(x₃,y₃),D(x₄,y₄)，以及CD中點為M(x₀,y₀)，則x₃、x₄是方程②的兩個的實數根，所以
x₃＋x₄＝－6,  x₃x₄＝－11， 從而  x₀＝(x₃＋x₄)＝－3,y₀＝3－x₀＝6
|CD|＝＝
∴    |MC|＝|MD|＝|CD|＝2， 又|MA|＝|MB|＝
即A、B、C、D四點到點M的距離相等，所以A、B、C、D四點共圓.

略