Question

已知點和圓：．

（Ⅰ）過點的直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程；
（Ⅱ）若的面積，且是圓內部第一、二象限的整點（平面內橫、縱坐標均為整數
的點稱為整點），求出點的坐標．

Answer 1

（Ⅰ）方程為：或；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）當所求直線的斜率不存在時，弦長為，不符合要求.因此可設直線的斜率為，根據點斜式寫出直線方程，求出圓心到直線的距離，再由勾股定理得到：，解得；（Ⅱ）連結,求出圓與軸的兩個交點.并連結,得到，因此要使，那么點必在經過點且與直線平行的直線上.結合點所在象限，可以求出為.
試題解析：（Ⅰ）當所求直線的斜率不存在時，弦長為，不符合要求；
因此設直線的斜率為，那么直線的方程為：.
所以圓心到直線的距離，又因為半徑弦長為.
所以，解得：.
所以所求直線方程為：或；
（Ⅱ）連結，點滿足,
過作直線的平行線．
∵
∴直線的方程分別為：

設點（且）
∴
解，得： 
∵且，在上對應的.
∴滿足條件的點存在，共有2個，它們的坐標分別為：.