Question

6個人坐在一排10個座位上，問
（1）空位不相鄰的坐法有多少種？
（2）4個空位只有3個相鄰的坐法有多少種？
（3）4個空位至多有2個相鄰的坐法有多少種？

Answer 1

【答案】分析：（1）空位不相鄰相當于將4個空位安插在6個人隔開的7個間隔中，有C₇⁴種插法，得到空位不相鄰的坐法有幾種．
（2）將相鄰的3個空位當作一個元素，另一空位當作另一個元素，往7個間隔里插有A₇²種插法，故4個空位中只有3個相鄰的坐法有A₆⁶A₇²種．
（3）4個空位至少有2個相鄰的情況有三類：①4個空位各不相鄰②4個空位2個相鄰，另有2個不相鄰③4個空位分兩組，每組都有2個相鄰．根據分類計數原理得到結果．
解答：解：6個人排有A₆⁶種，6人排好后包括兩端共有7個“間隔”可以插入空位．
（1）空位不相鄰相當于將4個空位安插在上述個“間隔”中，有C₇⁴=35種插法，
故空位不相鄰的坐法有A₆⁶C₇⁴=25200種．
（2）將相鄰的3個空位當作一個元素，另一空位當作另一個元素，往7個“間隔”里插
有A₇²種插法，故4個空位中只有3個相鄰的坐法有A₆⁶A₇²=30240種．
（3）4個空位至多有2個相鄰的情況有三類：
①4個空位各不相鄰有C₇⁴種坐法；
②4個空位2個相鄰，另有2個不相鄰有C₇¹C₆²種坐法；
③4個空位分兩組，每組都有2個相鄰，有C₇²種坐法．
綜合上述，應有A₆⁶（C₇⁴+C₇¹C₆²+C₇²）=115920種坐法．
點評：本題考查插空法和計數原理，分類計數問題是經常出現的一個問題，解題時一定要分清做這件事需要分為幾類，每一類包含幾種方法，把幾個步驟中數字相加得到結果．