Question

已知各項(xiàng)均不相同的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)和S_n=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)和，求T₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)公差為d，由S_n=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，得

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由a_n=n+1，知

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此能求出T₂₀₁₂的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，
∵S_n=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，…（4分）
解得d=0（舍）或d=1，所以a₁=2，
故a_n=n+1．…（7分）
（Ⅱ）∵a_n=n+1，
∴

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
所以Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，…（12分）
所以T₂₀₁₂=

503

1007

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．