Question

【題目】已知函數f(x)＝2ex＋3x2－2x＋1＋b，x∈R的圖象在x＝0處的切線方程為y＝ax＋2.

(1)求函數f(x)的單調區間與極值；

(2)若存在實數x，使得f(x)－2x2－3x－2－2k≤0成立，求整數k的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）0

【解析】試題分析：(1)先利用導數的幾何意義求出的值，再利用導數的符號變化得到函數的單調區間和極值；(2)分離參數，將不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題，再構造函數，利用導數求其最值即可.

試題解析：(1)f′(x)＝2ex＋6x－2，因為f′(0)＝a，所以a＝0，易得切點(0，2)，所以b＝－1.

易知函數f′(x)在R上單調遞增，且f′(0)＝0.則當x<0時，f′(x)＜0；當x＞0時，f′(x)＞0.

所以函數f(x)的單調遞減區間為(－∞，0)；單調遞增區間為(0，＋∞)．

所以函數f(x)在x＝0處取得極小值f(0)＝2.

(2)f(x)－2x2－3x－2－2k≤0ex＋x2－x－1－k≤0k≥ex＋x2－x－1，　(*)

令h(x)＝ex＋x2－x－1，

若存在實數x，使得不等式(*)成立，則k≥h(x)min，

h′(x)＝ex＋x－，易知h′(x)在R上單調遞增，

又h′(0)＝－<0，h′(1)＝e－>0，h′＝e－2<0，h′＝e－>2.56－＝1.6－＝－>2－＝>0，所以存在唯一的x0∈，使得h′(x0)＝0，

且當x∈(－∞，x0)時，h′(x)<0；當x∈(x0，＋∞)時，h′(x)>0.

所以h(x)在(－∞，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增，

h(x)min＝h(x0)＝ex0＋x20－x0－1，又h′(x0)＝0，即ex0＋x0－＝0，所以ex0＝－x0.

因為x0∈，所以h(x0)∈，則k≥h(x0)，又k∈Z.所以k的最小值為0.