Question

【題目】已知正項數列{an}的前n項和為Sn，且an和Sn滿足：4Sn＝(an＋1)2 (n＝1,2,3……)，

(1)求{an}的通項公式；(2)設bn＝ ，求{bn}的前n項和Tn；

(3)在(2)的條件下，對任意n∈N*，Tn都成立，求整數m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3） .

【解析】

（1）由4Sn=（an+1）2，知4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），由此得到（an+an-1）（an-an-1-2）=0．從而能求出{an}的通項公式．
（2）由（1）知

，由此利用裂項求和法能求出Tn．
（3）由（2）知

從而得到 ．由此能求出任意n∈N*，Tn都成立的整數m的最大值．

：（1）∵4Sn=（an+1）2，①
∴4Sn-1=（an-1+1）2（n≥2），②
①-②得
4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2．
∴4an=（an+1）2-（an-1+1）2．
化簡得（an+an-1）（an-an-1-2）=0．
∵an＞0，∴an-an-1=2（n≥2）．
∴{an}是以1為首項，2為公差的等差數列．
∴an=1+（n-1）2=2n-1．
（2）．
∴ ．
（3）由（2）知
∴數列{Tn}是遞增數列．
∴．
∴

∴整數m的最大值是7．