Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， 分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（包括兩個(gè)端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，

①求證：；②求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）.

【解析】

（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由向量法證明線線垂直和計(jì)算二面角。（2）設(shè)（），設(shè)直線與平面所成的角為由向量坐標(biāo)法求得

設(shè)設(shè)由導(dǎo)數(shù)法求得范圍。

以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則 ，.

因?yàn)?/span>分別是棱的中點(diǎn)，所以

（1）當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，則

①因?yàn)?/span> 所以即

②因?yàn)?/span>設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由 可得，取，則所以

又因?yàn)?/span>是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面所成的二面角的平面角為，

則 .因?yàn)?/span>為銳角，所以

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為

（2）因?yàn)?/span>在線段上，所以設(shè)（），解得，

所以.

因?yàn)?/span>設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由可得，取則所以

設(shè)直線與平面所成的角為

則

因?yàn)?/span>所以設(shè)則

所以，設(shè)

則，設(shè)可求得的取值范圍為，

進(jìn)一步可求得的取值范圍為

所以直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍為.