Question

已知數列{an}是首項為，公比為的等比數列，設bn＋15log3an＝t，常數t∈N*.

(1)求證：{bn}為等差數列；

(2)設數列{cn}滿足cn＝anbn，是否存在正整數k，使ck，ck＋1，ck＋2按某種次序排列后成等比數列？若存在，求k，t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）見解析（2）存在k＝1，t＝5適合題意．

【解析】(1)an＝3－，bn＋1－bn＝－15log3 ＝5，

∴{bn}是首項為b1＝t＋5，公差為5的等差數列．

(2)cn＝(5n＋t) ·3－，則ck＝(5k＋t)·3－，

令5k＋t＝x(x>0)，則ck＝x·3－，ck＋1＝(x＋5)·3－，ck＋2＝(x＋10)·3－.

①若＝ck＋1ck＋2，則2＝(x＋5)·3－·(x＋10)·3－.

化簡得2x2－15x－50＝0，解得x＝10；進而求得k＝1，t＝5；

②若＝ckck＋2，同理可得(x＋5)2＝x(x＋10)，顯然無解；

③若＝ckck＋1，同理可得(x＋10)2＝x(x＋5)，方程無整數根．

綜上所述，存在k＝1，t＝5適合題意．