Question

設函數f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）當a=

1

3

時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設函數g(x)=x2-2bx-

5

12

，若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：確定函數f（x）的定義域，并求導函數
（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx-x-1，求出f（1）=-2，f'（1）=0，即可得到f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求導函數，令f'（x）＜0，可得函數f（x）的單調遞減區間；令f'（x）＞0，可得函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）當a=

1

3

時，求得函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=-

2

3

；對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出g(x)=x2-2bx-

5

12

=(x-b)2-b2-

5

12

，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范圍．

解答：解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

（2分）
（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx-x-1，∴f（1）=-2，f′(x)=

1

x

-1，
∴f'（1）=0，∴f（x）在x=1處的切線方程為y=-2（5分）
（Ⅱ）f′(x)=-

x2-3x+2

3x2

=-

(x-1)(x-2)

3x2

（6分）
令f'（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2
故當a=

1

3

時，函數f（x）的單調遞增區間為（1，2）；單調遞減區間為（0，1），（2，+∞）．（8分）
（Ⅲ）當a=

1

3

時，由（Ⅱ）可知函數f（x）在（1，2）上為增函數，
∴函數f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=-

2

3

（9分）
若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，等價于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值-

2

3

（*）         （10分）
又g(x)=x2-2bx-

5

12

=(x-b)2-b2-

5

12

，x∈[0，1]
①當b＜0時，g（x）在[0，1]上為增函數，[g(x)]min=g(0)=-

5

12

＞-

2

3

與（*）矛盾
②當0≤b≤1時，[g(x)]min=g(b)=-b2-

5

12

，由-b2-

5

12

≤-

2

3

及0≤b≤1得，

1

2

≤b≤1
③當b＞1時，g（x）在[0，1]上為減函數，[g(x)]min=g(1)=

7

12

-2b＜-

17

12

＜-

2

3

，
此時b＞1（11分）
綜上，b的取值范圍是[

1

2

，+∞)（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查恒成立問題，解題的關鍵是將對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁）≥g（x₂）成立，轉化為g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．