Question

20、已知定義在R上的函數f（x）=-2x³+bx²+cx（b，c∈R），函數F（x）=f（x）-3x²是奇函數，函數f（x）在x=-1處取極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在區間[-3，3]上的單調性．

Answer 1

分析：（1）通過函數F（x）是奇函數先求出b，在利用函數f（x）在x=-1處取極值可得f′（-1）=0求得c，則函數解析式求得．
（2）先求導數fˊ（x），在區間[-3，3]內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．

解答：解：（1）∵函數F（x）=f（x）-3x²是奇函數，
∴F（-x）=-F（x），化簡計算得b=3．
∵函數f（x）在x=-1處取極值，∴f′（x）=0．
f（x）=-2x³+3x²+cx，f′（x）=-6x²+6x+c
∴f′（-1）=-6-6+c=0，c=12．
∴f（x）=-2x³+3x²+12x，
（2）f′（x）=-6x²+6x+12=-6（x²-x-2）．
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=2，

∴函數f（x）在[-3，-1]和[2，3]上是減函數，
函數f（x）在[-1，2]上是增函數．

點評：本題考查了待定系數法求解析式，利用導數研究函數的單調性，屬于基礎題．