Question

【題目】函數f（x）=alnx+1（a＞0）．
（1）當x＞0時，求證： ；
（2）在區間（1，e）上f（x）＞x恒成立，求實數a的范圍．
（3）當 時，求證： （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設

令 ，則x=1，即φ（x）在x=1處取到最小值，

則φ（x）≥φ（1）=0，即原結論成立．

（2）解：由f（x）＞x得alnx+1＞x

即 ，

令 ，

令 ， ，

則h（x）單調遞增，所以h（x）＞h（1）=0

∵h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）單調遞增，則g（x）的最大值為g（e）=e﹣1

所以a的取值范圍為[e﹣1，+∞）．

（3）證明：由第一問得知 ，則

則

=

=

=2n﹣

=2n﹣2（ ）=

【解析】（1）通過構造函數，利用導數研究函數的單調性、極值即可證明；（2）由f（x）＞x得alnx+1＞x，即 ，令 ，利用導數研究函數的單調性、極值及最大值即可；（3）由第一問得知 ，則 ，然后利用“累加求和”即可證明．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握不等式的證明(不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等)的相關知識才是答題的關鍵．