Question

已知函數f（x）=x²-2（a+1）x+a²+1，x∈R．
（1）若a=2，解不等式f（x）＜0；
（2）若a∈R，解關于x的不等式f（x）＜0；
（3）若x∈[0，2]時，f（x）≥a²（1-x）恒成立．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，f（x）=x²-6x+5=（x-1）（x-5）＜0，由二次不等式的解法可求
（2）f（x）=0時△=8a，二次函數的圖象開口向上，分類討論①△≤0②△＞0兩種情況分別進行求解
（3）任意的x∈[0，2]，x²+1≥（-a²+2a+1）x，成立①當x=0時，不等式顯然成立②當x∈（0，2]，可得-a2+2a+2≤x+

1

x

，通過研究函數x+

1

x

的最值可求a的范圍

解答：解：（1）當a=2時，f（x）=x²-6x+5=（x-1）（x-5）＜0
∴1＜x＜5-----（2分）
（2）f（x）=0時△=8a--（4分）
當a≤0，x∈Φ；-----（6分）
當a＞0，a+1-

2a

＜x＜a+1+

2a

---（8分）
（3）由題意：任意的x∈[0，2]，x²+1≥（-a²+2a+1）x，成立
當x=0時，不等式顯然成立--（10分）
當x∈（0，2]，-a2+2a+2≤x+

1

x

．
∵x+

1

x

≥2，(x=1 時取等)
∴-a²+2a+2≤2，即a≤0或a≥2
綜上：a≤0或a≥2---（16分）

點評：本題主要考查了二次不等式的解法，二次不等式的恒成立問題的應用及利用基本不等式求解函數的最值等知識的綜合應用．