Question

某蔬菜種植公司有相距都很遠且規模相等的甲、乙、丙三個獨立基地，每個基地都栽種A、B兩種不同的蔬菜品種．若天氣正常，每個基地中A、B兩種蔬菜的產量分別為10萬公斤、20萬公斤，每公斤的批發價分別為2元、1.5元；若遇到旱澇天氣，每個基地中A、B兩種蔬菜的產量分別為7萬公斤，15萬公斤；若甲、乙、丙三個基地中有一地遇旱澇天氣，該地A、B兩種蔬菜每公斤的批發價分別為3元，2元．甲、乙、丙三個基地天氣正常與旱澇天氣的概率分別為0.6和0.4，0.6和0.4，0.7和0.3，設蔬菜種植公司栽種A、B兩種蔬菜的總產量（單位：萬公斤）為ξ，總收入（單位：萬元）為η．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求η的數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）設A，B，C分別表示甲、乙、丙三地天氣氣正常，由題意得P（A）=0.6，P（B）=0.6，P（C）=0.7，ξ的所有可能取值為90，82，74，66，分別求出相應在的概率，能求出ξ的分布列．
（2）由（1）得η的所有可能取值為η₁=150萬元，η₂=151萬元，η₃=152萬元，η₄=153萬元，由此能求出Eη．

解答： 解：（Ⅰ）設A，B，C分別表示甲、乙、丙三地天氣氣正常，
則A，B，C相互獨立，
由題意得P（A）=0.6，P（B）=0.6，P（C）=0.7，
ξ的所有可能取值為90，82，74，66，
P（ξ=90）=P（ABC）=0.6²×0.7=0.252，
P（ξ=82）=P（

.

A

BC）+P（A

.

B

C）+P（AB

.

C

）
=0.4×0.6×0.7×2+0.6×0.6×0.3=0.444，
P（ξ=74）=P（A

.

B

.

C

）+P（

.

A

B

.

C

）+P（

.

A

.

B

C）
=0.6×0.4×0.3×2+0.4×0.4×0.7=0.256，
P（ξ=66）=P(

.

A

.

B

.

C

)=0.4×0.4×0.3=0.048，
∴ξ的分布列為：

ξ	90	82	74	66
P	0.252	0.444	0.256	0.048

（2）由（1）得η的所有可能取值為：
η₁=30×2+60×1.5=150萬元，
η₂=7×3+15×2+20×2+40×1.5=151萬元，
η₃=10×2+20×1.5+14×3+30×2=152萬元，
η₄=24×3+45×2=153萬元，
∴Eη=150×0.252+151×0.444+152×0.256+153×0.048=151.1（萬元）．

點評：本題考查概率、隨機變量分布列以及數學期望等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的能力，是中檔題．