Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD=AB，PD⊥底面ABCD，M，N，Q分別在PB，AC，PC上，且

PM

MB

=

AN

NC

=

PQ

QC

（1）求證：平面MNQ∥平面PAD．
（2）求直線PB與平面面MNQ所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證平面MNQ∥平面PAD，可由

PM

MB

=

PQ

QC

⇒MQ∥BC⇒MQ∥平面PAD．同理NQ∥平面PAD證出．
（2）由（1），直線PB與平面面MNQ所成角等于直線PB與平面PAD所成角．證出BA⊥平面PAD，∠BPA為直線PB與平面MNQ所成角，

解答：（1）證明：

PM

MB

=

PQ

QC

⇒MQ∥BC，∵BC∥AD，∴MQ∥AD，
MQ?平面PAD，AD?平面PAD，∴MQ∥平面PAD．
同理

AN

NC

=

PQ

QC

⇒NQ∥AP，NQ?平面PAD，AP?平面PAD，∴NQ∥平面PAD．
MQ，NQ?平面MNQ，MQ∩NQ=Q，
∴平面MNQ∥平面PAD．
（2）解：由（1），直線PB與平面面MNQ所成角等于直線PB與平面PAD所成角．

PD⊥平面ABCD AB?平面ABCD

⇒PD⊥AB AD⊥AB ⇒AB⊥平面PAD

⇒∠BPA為直線PB與平面PAD所成角，
設正方形ABCD邊長為1，則PD=AB=1，直角三角形△PDA斜邊PA=

2

，直角三角形△BPA斜邊PB=

3

，
sin∠BPA=

AB

PB

=

1

3

=

3

3

．

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，線面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．