Question

如圖，已知平面，，，
且是的中點，.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求此多面體的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）取的中點，連結(jié)、，利用中位線證明，利用題中條件得到，進而得到，于是說明四邊形為平行四邊形，得到，最后利用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）由平面 得到，再利用等腰三角形三線合一得到，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，結(jié)合（1）中的結(jié)論證明平面，最后利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（3）利用已知條件得到平面平面，然后利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理求出椎體的高，最后利用椎體的體積公式計算該幾何體的體積.
（1）取中點，連結(jié)、，為的中點， ，且，
又，且 ，且，
為平行四邊形，，
又平面，平面，平面；
（2），，所以為正三角形，，
平面，，平面，又平面，
，又，，
平面，又，平面，
又平面，平面平面；
（3）此多面體是一個以為定點，以四邊形為底邊的四棱錐，
，平面平面，
等邊三角形邊上的高就是四棱錐的高，
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