Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n.已知a₁＝a，a_n＋1＝S_n＋3ⁿ，n∈N^*.
(1)設b_n＝S_n－3ⁿ，求數列{b_n}的通項公式；
(2)若a_n＋1≥a_n，n∈N^*，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）b_n＝ (a－3)2^n－1，n∈N^*.
（2）[－9，＋∞)

解：(1)依題意，S_n＋1－S_n＝a_n＋1＝S_n＋3ⁿ，
即S_n＋1＝2S_n＋3ⁿ，
由此得S_n＋1－3^n＋1＝2(S_n－3ⁿ)，
即b_n＋1＝2b_n，b₁＝S₁－3＝a－3.
因此，所求通項公式為
b_n＝b₁·2^n－1＝(a－3)2^n－1，n∈N^*.①
(2)由①知S_n＝3ⁿ＋(a－3)2^n－1，n∈N^*，
于是，當n≥2時，
a_n＝S_n－S_n－1
＝3ⁿ＋(a－3)2^n－1－3^n－1－(a－3)2^n－2
＝2×3^n－1＋(a－3)2^n－2，
a_n＋1－a_n
＝4×3^n－1＋(a－3)2^n－2
＝2^n－2·[12()^n－2＋a－3]，
當n≥2時，a_n＋1≥a_n?12()^n－2＋a－3≥0?a≥－9.
又a₂＝a₁＋3>a₁.
所以a的取值范圍是[－9，＋∞)．