Question

已知函數f（x）=x³+x²，數列|x_n|（x_n＞0）的第一項x_n=1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f（x）在（x_n+1，f（x_n+1））處的切線與經過（0，0）和（x_n，f （x_n））兩點的直線平行（如圖）．
求證：當n∈N^*時，
（Ⅰ）x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1；
（Ⅱ）(

1

2

)n-1≤xn≤(

1

2

)n-2．

Answer 1

分析：（1）曲線x=f（x）在（x_n+1，f（x_n+1））處的切線與經過（0，0）和（x_n，f （x_n））兩點的直線平行，利用該條件可建立斜率相等的關系，故得到x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1
（2）不等關系的證明想到利用函數的單調性建立不等關系．

解答：解：證明：因為f'（x）=3x²+2x，
所以曲線y=f（x）在（x_n+1，f（x_n+1））處的切線斜率k_n+1=3x_n+1²+2x_n+1．
因為過（0，0）和（x_n，f（x_n））兩點的直線斜率是x_n²+x_n，
所以x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1．
因為函數h（x）=x²+x當x＞0時單調遞增，
而x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1≤4x_n+1²+2x_n+1=（2x_n+1）²+2x_n+1，
所以x_n≤2x_n+1，
即

xn+1

xn

≥

1

2

，
因此xn=

xn

xn-1

•

xn-1

xn-2

x2

x1

≥(

1

2

)n-1．
又因為x_n²+x_n≥2（x_n+1²+x_n+1），
令y_n=x_n²+x_n，
則

yn+1

yn

≤

1

2

．
因為y₁=x₁²+x₁=2，
所以yn≤(

1

2

)n-1•y1=(

1

2

)n-2．
因此xn≤

x

2 n

+xn≤(

1

2

)n-2，
故(

1

2

)n-1≤xn≤(

1

2

)n-2．

點評：本題主要考查函數的導數、數列、不等式等基礎知識，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理能力．