Question

一炮彈在某處爆炸，在F₁(－5000，0)處聽到爆炸聲的時間比在F₂(5000，0)處晚s，已知坐標(biāo)軸的單位長度為1 m，聲速為340 m/s，爆炸點應(yīng)在什么樣的曲線上?并求爆炸點所在的曲線方程.

Answer 1

解:由聲速為340 m/s可知F₁、F₂兩處與爆炸點的距離差為340×=6000(m)，因此爆炸點在以F₁、F₂為焦點的雙曲線上.

因為爆炸點離F₁處比F₂處更遠(yuǎn)，所以爆炸點應(yīng)在靠近F₂處的一支上.

設(shè)爆炸點P的坐標(biāo)為(x,y)，則

|PF₁|－|PF₂|=6000，即2a=6000,a=3000.

而c=5000,∴b²=5000²－3000²=4000².

∵|PF₁|－|PF₂|=6000＞0，∴x＞0.

∴所求雙曲線方程為=1(x＞0).

點評:在F₁處聽到爆炸聲比F₂處晚 s，相當(dāng)于爆炸點離F₁的距離比F₂遠(yuǎn)6000 m，這是解應(yīng)用題的第一關(guān)——審題關(guān)；根據(jù)審題結(jié)合數(shù)學(xué)知識知爆炸點所在的曲線是雙曲線，這是解應(yīng)用題的第二關(guān)——文化關(guān)(用數(shù)學(xué)文化反映實際問題);借助雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出爆炸點的軌跡方程是解決應(yīng)用題的第三關(guān)——數(shù)學(xué)關(guān)(用數(shù)學(xué)知識解決第二關(guān)提出的問題).