Question

一個正六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a的正三角形，這樣的兩個多面體的內切球的半徑之比是一個最簡分數，那么積m•n是    ．

Answer 1

【答案】分析：畫出正六面體、正八面體及內切球，設出半徑r₁與r₂，
利用體積求出兩個半徑的比，然后得到m•n．
解答：解：設六面體與八面體的內切球半徑分別為r₁與r₂，
再設六面體中的正三棱錐A-BCD的高為h₁，
八面體中的正四棱錐M-NPQR的高為h₂，如圖所示

則h₁=a，h₂=a．
∵V_正六面體=2•h₁•S_△BCD=6•r₁•S_△ABC，∴r₁=h₁=a．
又∵V_正八面體=2•h₂•S_{正方形NPQR}=8•r₂•S_△MNP，
a³=2r₂a²，r₂=a，于是是最簡分數，
即m=2，n=3，∴m•n=6．
故選A．
點評：本題考查簡單幾何體的結構特征，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是難題．