Question

【題目】設事件A表示“關于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有實根”，其中a，b為實常數． （Ⅰ）若a為區間[0，5]上的整數值隨機數，b為區間[0，2]上的整數值隨機數，求事件A發生的概率；
（Ⅱ）若a為區間[0，5]上的均勻隨機數，b為區間[0，2]上的均勻隨機數，求事件A發生的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a∈{0，1，2，3，4，5}，b∈{0，1，2}時，共可以產生6×3=18個一元二次方程． 若事件A發生，則a 2﹣4b2≥0，即|a|≥2|b|．又a≥0，b≥0，所以a≥2b．
從而數對（a，b）的取值為（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12組值．
所以P（A）= ．
（Ⅱ）據題意，試驗的全部結果所構成的區域為D={（a，b）|0≤a≤5，0≤b≤2}，構成事件A的區域為A={（a，b）|0≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}．
在平面直角坐標系中畫出區域A、D，如圖，
其中區域D為矩形，其面積S（D）=5×2=10，
區域A為直角梯形，其面積S（A）= ．
所以P（A）= ．

【解析】（Ⅰ）本題是古典概型，首先明確事件的個數，利用公式解答；Ⅱ）本問是幾何概型的求法，明確事件對應的區域面積，利用面積比求概率．