Question

已知二階矩陣M有特征值=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e₁=，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（-2，4）.
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e₂的坐標(biāo)之間的關(guān)系.

Answer 1

（1）M=（2）矩陣M的另一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系是2x+y=0

（1）設(shè)M=，則=8=，
故                                            2分
=，故                           4分
聯(lián)立以上兩方程組解得a=6,b=2,c=4,d=4,
故M=.                                              6分
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（）=（-6）（-4）-8=²-10+16，
故其另一個(gè)特征值為="2.                                           " 9分
設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e₂=，
則Me₂==2，所以,                                   12分
所以矩陣M的另一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系是2x+y="0.                 " 14分