Question

【題目】已知橢圓的四個頂點組成的四邊形的面積為，且經過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓的下頂點為，如圖所示，點為直線上的一個動點，過橢圓的右焦點的直線垂直于，且與交于兩點，與交于點，四邊形和的面積分別為．求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）由橢圓幾何條件得橢圓四個頂點組成的四邊形為菱形，其面積為，又在橢圓上，所以，解方程組得（2）先確定面積計算方法：，，再確定計算方向：設根據兩點間距離公式求OM，根據兩直線交點求N點橫坐標，再根據直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理求弦長AB，最后根據表達式形式，確定求最值方法（基本不等式求最值）

試題解析：（1）因為在橢圓上，所以，

又因為橢圓四個頂點組成的四邊形的面積為，所以，

解得，所以橢圓的方程為．

（2）由（1）可知，設，

則當時，，所以，

直線的方程為，即，

由得，

則，

，

，

又，所以，

由，得，所以，

所以，

當時，直線，

所以當時，．