Question

雙曲線的兩條漸進線方程分別為x-

3

y=0和x+

3

y=0，雙曲線上的點滿足不等式x²-3y²＜0，已知雙曲線的焦距為4，則雙曲線的準線方程為（　�。�

• A．x=±

  1

  2

• B．y=±

  1

  2

• C．x=±

  3

  2

• D．y=±

  3

  2

Answer 1

分析：先根據雙曲線上的點滿足不等式x²-3y²＜0，得出雙曲線焦點所在的坐標軸，再設出雙曲線的標準方程，進而根據漸近線方程和焦距聯立方程求得a和b，答案可得．

解答：解：不等式x²-3y²＜0即（x-

3

y）（x+

3

y）＜0，此不等式表示的平面區域為雙曲線的兩條漸近線x-

3

y=0和x+

3

y=0相交所成的上下的對角區域．
∴雙曲線的焦點必在y軸上，
∵當雙曲線焦點在y軸上時，漸近線方程為y=±

a

b

x，
所以

a

b

=

1

3

，又2c=4，且a²+b²=c²，
聯立解得a=1，b=

3

．
則雙曲線的準線方程為：y=±

a2

c

即y=±

1

2

故選C．

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程、二元一次不等式表示的平面區域等基本知識．屬基礎題．