【題目】已知函數
．
（1）討論
的單調區間與極值；
（2）已知函數的圖象與直線
相交于
，
兩點（
），證明：
．
【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）證明見解析．
【解析】
（1）求出導函數
，利用
確定增區間，
確定減區間，從而可得極值；
（2）由（1）知只有在
且
即
時，函數
的圖象與直線
才有兩個交點，由
得
，可得
，同時由消去參數
，并設
，
都可用
表示，要證不等式
，只要證
，即
，只要證
，引入新函數
．利用導數的知識可證．
解：（1）
，
①當
時，
，此時在
②當時，由
，得
.
所以
時，
，單調遞減；
時，，單調遞增.
此時函數有極小值為
，無極大值.
（2）由題設可得，所以，
且由（1）可知
，
，.
，
，∴
，同理
，
由
，可知
，所以.
由，得
，
作差得
設
（
），由，得
，
所以
，即
，
所以
，
要證，只要證，即，只要證.
設（
），
則
.
所以
在
單調遞增，
.
所以.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費
（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費
和年銷售量
（
）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值．
|
|
|
|
|
|
|
46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1.469 | 108.8 |
表中
，
（1）根據散點圖判斷，
與
哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？給出判斷即可，不必說明理由
（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（3）已知這種產品的年利潤z與x、y的關系為
根據（2）的結果回答下列問題：
①年宣傳費
時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？
附：對于一組數據
，其回歸線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核．記
表示學生的考核成績，并規定
為考核優秀．為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績，并作成如下莖葉圖：
（Ⅰ）從參加培訓的學生中隨機選取1人，請根據圖中數據，估計這名學生考核優秀的概率；
（Ⅱ）從圖中考核成績滿足
的學生中任取2人，求至少有一人考核優秀的概率；
（Ⅲ）記
表示學生的考核成績在區間
的概率，根據以往培訓數據，規定當
時培訓有效．請根據圖中數據，判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖①，在平面五邊形
中，
是梯形，
，
，
，
，
是等邊三角形.現將沿
折起，連接
、
得如圖②的幾何體.
（1）若點
是
的中點，求證：
平面
；
（2）若
，在棱上是否存在點
，使得二面角
的余弦值為
？若存在，求
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C：
的離心率為
，與坐標軸分別交于A，B兩點，且經過點Q（
，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若P（m，n）為橢圓C外一動點，過點P作橢圓C的兩條互相垂直的切線l1、l2，求動點P的軌跡方程，并求△ABP面積的最大值．
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