Question

【題目】已知函數，實數為常數）．

（1）若，且函數在上的最小值為0，求的值；

（2）若對于任意的實數，函數在區間上總是減函數，對每個給定的，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求導，求函數在已知區間上的極值，注意極值點是否在定義域內，進行分類討論，確定最小值，列出關于的方程即可得結果；（2）函數在區間上單調遞減，轉化為導函數小于等于0恒成立，再轉化為二次函數根的分布問題.

試題解析：（1）當時， ．

則．

令，得（舍），．

①當>1時，

	1
		-	0	+
		↘		↗

∴當時, ．

令，得．

②當時， ≥0在上恒成立，

在上為增函數，當時, ．

令，得（舍）．

綜上所述，所求為．

(2) ∵對于任意的實數， ， 在區間上總是減函數，

則對于x∈(1,3)， ＜0，

∴在區間[1,3]上恒成立．

設g(x)= ，∵，∴g(x) 在區間[1,3]上恒成立．

由g(x)二次項系數為正，得

即 亦即

∵ =，

∴ 當n＜6時，m≤，當n≥6時，m≤，

∴ 當n＜6時，h(n)= ，當n≥6時，h(n)= ，

即