Question

（2011•廣州模擬）某城市為準(zhǔn)備參加“全國(guó)文明城市”的評(píng)選，舉辦了“文明社區(qū)”評(píng)選的活動(dòng)，在第一輪暗訪評(píng)分中，評(píng)委會(huì)對(duì)全市50個(gè)社區(qū)分別從“居民素質(zhì)”和“社區(qū)服務(wù)”兩項(xiàng)進(jìn)行評(píng)分，每項(xiàng)評(píng)分均采用5分制，若設(shè)“社區(qū)服務(wù)”得分為x分，“居民素質(zhì)”得分為y分，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

y 社區(qū)數(shù)量 x		居民素質(zhì)
		1分	2分	3分	4分	5分
社 區(qū) 服 務(wù)	1分	1	3	1	0	1
	2分	1	0	7	5	1
	3分	2	1	0	9	3
	4分	a	b	6	0	1
	5分	0	0	1	1	3

（1）若“居民素質(zhì)”得分和“社區(qū)服務(wù)”得分均不低于3分（即x≥3且y≥3）的社區(qū)可以進(jìn)入第二輪評(píng)比，現(xiàn)從50個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)社區(qū)，求這個(gè)社區(qū)能進(jìn)入第二輪評(píng)比的概率；
（2）若在50個(gè)社區(qū)中隨機(jī)選取一個(gè)社區(qū)，這個(gè)社區(qū)的“居民素質(zhì)”得分y的均值（即數(shù)學(xué)期望）為

167

50

，求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）從表中可以看出居民素質(zhì)”得分和“社區(qū)服務(wù)”得分均不低于3分的社區(qū)數(shù)量為24個(gè)，利用古典概型的概率根式求出概率．
（2）求出y可取得的值，利用古典概型的概率公式求出y取每一個(gè)值的概率，列出分布列，利用隨機(jī)變量的期望公式求出期望，列出方程求出a，b的值．

解答：解：（1）從表中可以看出，“居民素質(zhì)”得分和“社區(qū)服務(wù)”得分均不低于3分的社區(qū)數(shù)量為24個(gè)．…（2分）
設(shè)這個(gè)社區(qū)能進(jìn)入第二輪評(píng)比為事件A，則P（A）=

24

50

=

12

25

．
所以這個(gè)社區(qū)能進(jìn)入第二輪評(píng)比的概率為

12

25

．…（4分）
（2）由表可知“居民素質(zhì)”得分y有1分、2分、3分、4分、5分，
其對(duì)應(yīng)的社區(qū)個(gè)數(shù)分別為a+4個(gè)、b+4個(gè)、15個(gè)、15個(gè)、9個(gè)．…（6分）
所以P（y=1）=

a+4

50

，P（y=2）=

b+4

50

，P（y=3）=

15

50

；   P（y=4）=

15

50

；  P（y=5）=

9

50

所以“居民素質(zhì)”得分y的分布列為：

y	1	2	3	4	5
p	a+4 50	b+4 50	15 50	15 50	9 50

…（8分）
因?yàn)椤熬用袼刭|(zhì)”得分y的均值為

167

50

，
所以1×

a+4

50

+2×

b+4

50

+3×

15

50

+4×

15

50

+5×

9

50

=

167

50

．…（10分）
即a+2b=5．
因?yàn)樯鐓^(qū)總數(shù)為50個(gè)，所以a+b+47=50．
解得a=1，b=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型的概率公式；考查隨機(jī)變量的期望公式，屬于基礎(chǔ)題．