Question

（1）已知矩陣M=

1 2 2 x

的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．
（2）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．OE交AD于點F．
①求證：DE是⊙O的切線；②若

AC

AB

=

3

5

，求

AF

DF

的值．
（3）在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2

2

sin（θ+

π

4

），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x=t y=1+2t

（t為參數），判斷直線l和圓C的位置關系．

Answer 1

考點：矩陣特征值的定義

專題：矩陣和變換

分析：本題（1）先根據特征多項式，利用已知的特征值，求出參數x的值，再求出另一個特征值，以及對應的一個特征向量；（2）

解答： 解：（1）∵矩陣M=

1 2 2 x

，
∴矩陣M的一個特征多項式為：f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-x

.

=（λ-1）（λ-x）-4．
∵矩陣M的一個特征值為3，
∴f（3）=0，
即（3-1）（3-x）-4=0，
∴x=1．
∴f（λ）=（λ-1）（λ-1）-4=（λ-3）（λ+1），
令f（λ）=0，
λ=3或λ=-1，
當λ=-1時，
-2x-2y=0，
取x=1，則y=-1，
∴另一個特征值為-1，對應的一個特征向量為

1 -1

．

點評：本題考查了矩陣的特征值、特征向量，本題難度不大，屬于基礎題．