【題目】已知函數
的定義域為
.
（1）當
時，若函數
在區間
上有最大值，求
的取值范圍；
（2）求函數的單調區間.
【答案】（1）
；（2）見解析.
【解析】
（1）將
代入函數
的解析式，利用導數求出該函數的極大值點
，并分析該函數在區間
上的單調性，根據題意得出
以及
，可得出關于實數
的不等式組，解出即可；
（2）求出函數的導數
，分
和
兩種情況討論，分析導函數
在區間上符號的變化，即可得出該函數的單調區間.
（1）當時，則
，可得
.
解得或
（舍），
當
時，
；當
時，
.
所以，函數在時取得極大值，
函數在區間
上要有最大值，
，解得
.
因此，實數的取值范圍是；
（2）
，則.
①當時，
，則，此時，函數的單調遞增區間為；
②當時，令
得
，且
.
方程
的兩個實根分別為
（舍），
.
此時，當
時，，當
時，.
此時，函數的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
.
綜上所述，當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間．
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】40名學生某次數學考試成績（單位：分）的頻率分布直方圖如下：
（1）求頻率分布直方圖中
的值；
（2）根據頻率分布直方圖求出樣本數據的中位數 （保留小數點后兩位數字）和眾數；
（3）從成績在
的學生中任選3人，求這3人的成績都在
中的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖（一），在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥BC，AB=BC=
CP，D是CP的中點，將△PAD沿AD折起，使點P到達點P′的位置得到圖（二），點M為棱P′C上的動點．
（1）當M在何處時，平面ADM⊥平面P′BC，并證明；
（2）若AB=2，∠P′DC=135°，證明：點C到平面P′AD的距離等于點P′到平面ABCD的距離，并求出該距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】和平面解析幾何的觀點相同，在空間中，空間平面和曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡，在空間直角坐標系
中，空間平面和曲面的方程是一個三原方程
.
（1）類比平面解析幾何中直線的方程，寫出①過點
，法向量為
的平面的點法式方程；②平面的一般方程；③在
，
，
軸上的截距分別為
，
，
的平面的截距式方程.（不需要說明理由）
（2）設
、
為空間中的兩個定點，
，我們將曲面
定義為滿足
的動點
的軌跡，試建立一個適當的空間直角坐標系，求曲面的方程.
（3）對（2）中的曲面，指出和證明曲面
的對稱性，并畫出曲面的直觀圖.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
經過定點
，且與直線
相切，設動圓圓心的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）設過點
的直線
，
分別與曲線交于
，
兩點，直線，的斜率存在，且傾斜角互補，證明：直線
的斜率為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
從某企業生產的某種產品中抽取500件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下圖頻率分布直方圖：
（I）求這500件產品質量指標值的樣本平均值
和樣本方差
（同一組的數據用該組區間的中點值作代表）；
（II）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標
服從正態分布
，其中
近似為樣本平均數，
近似為樣本方差.
（i）利用該正態分布，求
；
（ii）某用戶從該企業購買了100件這種產品，記
表示這100件產品中質量指標值位于區間
的產品件數.利用（i）的結果，求
.
附：
若
則
，
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知y＝f(x)的導函數f′(x)的圖像如圖所示，則下列結論正確的是( )
A.f(x)在(－3，－1)上先增后減B.x＝－2是f(x)極小值點
C.f(x)在(－1,1)上是增函數D.x＝1是函數f(x)的極大值點
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