Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面邊長AB=6，側棱長，它的外接球的球心為O，點E是AB的中點，點P是球O的球面上任意一點，則有以下結論：
①PE長的最大值是9；
②三棱錐P—EBC的最大值是[]
③存在過點E的平面，截球O的截面面積是；
④三棱錐P—AEC₁體積的最大值是20。
其中正確結論的是          。（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

（1）（4）

解：（1）先求出球的半徑，然后求PE的長+半徑；
（2）P到平面EBC的距離+半徑就是P到平面EBC的距離最大值；
（4）三棱錐P-AEC₁體積的表達式，再求最大值；大圓和小圓的面積可以判斷（3）的正確性．即為
由題意可知球心在體對角線的中點，直徑為
半徑是5，那么PE長的最大值是5+ 正確
點P到命題 距離的最大值為5+，因此體積表示不正確。
球的大圓面積是25π，過E與球心連線垂直的平面是小圓，面積為9π，因而（3）是錯誤的．
三棱錐P-AEC₁體積的最大值是V= S_△AEC1•h= × ×3×8×5=20（h最大是半徑）正確．