Question

已知橢圓C:的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為的菱形的四個頂點.
(I)求橢圓C的方程；
(II)若直線y =kx交橢圓C于A，B兩點，在直線l:x+y-3=0上存在點P,使得 ΔPAB為等邊三角形,求k的值.

Answer 1

(I)； (II)  或．

試題分析：(I)由圖形的對稱性及橢圓的幾何性質，易得，進而寫出方程； (II) 先找到AB中垂線與l的交點，保證ΔPAB為等腰三角形，再滿足即可保證ΔPAB為等邊三角形，此外，注意對于特殊情形的討論．
試題解析：
(I)因為橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，
一內角為的菱形的四個頂點,
所以,橢圓的方程為．               4分
(II)設則
當直線的斜率為時，的垂直平分線就是軸，
軸與直線的交點為,
又因為，所以，
所以是等邊三角形,所以滿足條件；           6分
當直線的斜率存在且不為時，設的方程為
所以，化簡得
所以 ，則      8分
設的垂直平分線為，它與直線的交點記為
所以，解得,
則                                        10分
因為為等邊三角形， 所以應有
代入得到，解得（舍），     13分
綜上可知， 或                               14分