Question

已知點(diǎn)A、B分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且離心率e=

6

3

，S_△ABC=

3

（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于

1

2

|PQ|時(shí)的直線方程．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的離心率e=

6

3

，S_△ABC=

3

，建立方程組，求出幾何量，即可得出橢圓的方程；
（2）分類討論，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用OP⊥OQ，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵橢圓的離心率e=

6

3

，S_△ABC=

3

∴

c a = 6 3 1 2 ×2a×b= 3

∴a=

3

，b=1，c=

2

∴所求橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=

2

，代入橢圓方程，可得y=±

3

3

，∴|PQ|=

2 3

3

而線段PQ的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于

2

，不合題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，l的方程為y=k（x-

2

），則OP⊥OQ
直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得（1+3k²）x²-6

2

k2x+6k²-3=0．
設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=

6 2 k2

1+3k2

，x₁x₂=

6k2-3

1+3k2

∴x₁x₂+y₁y₂=

5k2-3

1+3k2

=0
∴k=±

15

5

∴直線l的方程為y=

15

5

（x-

2

）或y=-

15

5

（x-

2

）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．