Question

16、已知函數y=-x²+4x-2
（1）若x∈[0，5]，求該函數的單調增區間；
（2）若x∈[0，3]，求該函數的最大值．最小值；
（3）若x∈（3，5），求函數的值域．

Answer 1

分析：對二次函數配方，求出對稱軸
（1）由于二次函數開口向下，在定義域上對稱軸右邊的區間為單調遞增區間．
（2）由于開口向下，對稱軸在定義域內，對稱軸x=2處取得最大值，端點離軸遠的x=0處函數值是最小值．
（3）定義域在對稱軸右邊，二次函數在定義域上單減，求出端點x=3，xx=5對應的函數值，寫出值域，不包含端點．

解答：解：∵y=-x²+4x-2=-（x-2）²+2
∴對稱軸為x=2
（1）∵x∈[0，5]，
∴該函數的單調增區間為[0，2]
（2）∵x∈[0，3]，
∴當x=2時函數有最大值y_max=2，當x=0時，函數有最小值y_min=-2
（3）y=-x²+4x-2=-（x-2）²+2
對稱軸為x=2＜3，由圖象可知：f（5）＜y＜f（3）
∴該函數的值域為：（-7，1）

點評：解決二次函數的性質問題，關鍵是判斷出二次函數的對稱軸與定義域的位置關系及利用二次項系數的符號判斷出圖象的開口方向．