Question

在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且

cosC

cosB

=

3a-c

b

，又b=

3

，則△ABC的面積的最大值

3 2

4

．

Answer 1

分析：利用正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，根據sinA不為0，得到cosB的值，由B為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，由b及cosB的值，利用余弦定理表示出關于a與c的關系式，根據基本不等式及等式的性質得到ac的最大值，由sinB及ac的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答：解：根據正弦定理得：

3sinA-sinC

sinB

=

3a-c

b

，
又

cosC

cosB

=

3a-c

b

，
∴

cosC

cosB

=

3sinA-sinC

sinB

，即sinBcosC=3sinAcosB-cosBsinC，
整理得：sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，
又A+B+C=π，即B+C=π-A，∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴sinA=3sinAcosB，又sinA≠0，
∴cosB=

1

3

，又B為三角形的內角，
∴sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∵b=

3

，cosB=

1

3

，
∴根據余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即3=a²+c²-

2

3

ac，
又a²+c²≥2ac，即3+

2

3

ac≥2ac，
∴ac≤

9

4

，即ac的最大值為

9

4

，
則△ABC的面積的最大值S=

1

2

acsinB=

1

2

×

9

4

×

2 2

3

=

3 2

4

．
故答案為：

3 2

4

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，同角三角函數間的基本關系，基本不等式，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．