Question

在R上定義運算?：x?y=x（2-y），已知關于x的不等式（x+1）?（x+1-a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}．
（1）x求實數a，b
（2）對于任意的t∈A，不等式x²+（t-2）x+1＞0恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,一元二次不等式的解法

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由新定義得到不等式，求解不等式后結合不等式的解集列關于a，b的方程，則答案可求；
（2）把不等式x²+（t-2）x+1＞0恒成立看作是關于t的一次不等式，然后由t取-1和1時對應的代數式大于0求得x的取值范圍．

解答： 解：（1）由（x+1）?（x+1-a）＞0，得（x+1）（a+1-x）＞0，
∴（x+1）（x-a-1）＜0，
∴-1＜x＜a+1，
∵不等式（x+1）?（x+1-a）＞0的解集是{x|b＜x＜1}，
∴b=-1，a+1=1，a=0；
（2）由（1）知，A=（-1，1），
令g（t）=xt+（x²-2x+1），
對于任意的t∈（-1，1），不等式x²+（t-2）x+1＞0恒成立，
當x=0時，上式顯然成立；
當x≠0時，則

g(-1)=-x+x2-2x+1≥0 g(1)=x+x2-2x+1≥0

，即

x2-3x+1≥0 x2-x+1≥0

，
解得：x≤

3- 5

2

或x≥

3+ 5

2

．
∴實數x的取值范圍是(-∞，

3- 5

2

]∪[

3+ 5

2

，+∞)．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了一元二次不等式的解法，訓練了更換主元法思想方法，是中檔題．