Question

【題目】已知函數f（x），若在定義域內存在x0 ， 使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，則稱x0為函數f（x）的局部對稱點．
（1）若a，b，c∈R，證明函數f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部對稱點；
（2）是否存在常數m，使得函數f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3有局部對稱點？若存在，求出m的范圍，否則說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：由f（x）=ax3+bx2+cx﹣b得f（﹣x）=﹣ax3+bx2﹣cx﹣b，
代入f（﹣x）=﹣f（x） 得ax3+bx2+cx﹣b﹣ax3+bx2﹣cx﹣b=0得到關于x的方程2bx2﹣2b=0，b≠0時，x=±1
當b=0，x∈R等式恒成立，
所以函數f（x）=ax3+bx2+cx﹣b必有局部對稱點；
（2）∵f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3
∴f（﹣x）=4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3，
由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m2x+1+m2﹣3），
于是 4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，
令t=2x+2﹣x（t≥2），則4x+4﹣x=t2﹣2，
∴方程（*）變為t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在區間[2，+∞）內有解，需滿足條件：
，解得，
化簡得≤m≤2．
【解析】（1）根據定義構造方程，再判斷方程是否有解，問題得以解決．
（2）根據定義構造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用換元法，設t=2x+2﹣x ， 方程變形為t2﹣2mt+2m2﹣8=0 在區間[2，+∞）內有解，再根據判別式求出m的范圍即可。