Question

已知A、B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長軸的兩個端點，M，N是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AM，BN的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂≠0．若|k₁|+|k₂|的最小值為1，則橢圓的離心率（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

分析：先假設出點M，N，A，B的坐標，然后表示出兩斜率的關系，再由|k₁|+|k₂|的最小值為1運用基本不等式的知識可得到當x₀=0時可取到最小值，進而找到a，b，c的關系，進而可求得離心率的值．

解答：解：設M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），A（-a，0），B（a，0）
k₁=

y0

x0+a

，k₂=

y0

a-x0

|k₁|+|k₂|=|

y0

x0+a

|+|

y0

a-x0

|≥2

| y0 x0+a |×| y0 a-x0 |

=2

y02 a2-x02

=1
當且僅當

y0

x0+a

=

y0

a-x0

，即x₀=0，y₀=b時等號成立
∴2

y02 a2-x02

=2

b

a

=1∴a=2b
又因為a²=b²+c²∴c=

3

2

 a
∴e=

c

a

=

3

2

故選C．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質和基本不等式的應用．圓錐曲線是高考的重點問題，基本不等式在解決最值時有重要作用，所以這兩方面的知識都很重要，一定要強化復習．