Question

設正方體的對稱軸組成的集合為A={l₁，l₂，…，l_n-1，l_n}，對?i，j∈{1，2，…，n}，i≠j，都有異面直線a，b使得a∥l_i，b∥l_j，a，b所成的最小角為θ，則sin（nπ+θ）=

 

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Answer 1

分析：找出正方體的對稱軸的直線的條數，結合題意求出異面直線的夾角，通過誘導公式求出三角函數值即可．

解答：解：正方體的對稱軸：包括對面中心連線，3條；體對角線4條；對棱中點連線6條，
共計13條．
正方體的對稱軸組成的集合為A={l₁，l₂，…，l_n-1，l_n}，對?i，j∈{1，2，…，n}，i≠j，都有異面直線a，b使得a∥l_i，b∥l_j，a，b所成的最小角為θ，所以θ就是對棱的中點連線與體對角線所成的角．
sin（nπ+θ）=sin（13π+θ）=-sinθ=-

1

3

=-

3

3

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故答案為：-

3

3

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點評：本題是中檔題，考查正方體的對稱軸與幾何圖形的關系，正確找出對稱軸與異面直線的夾角是解題的關鍵與難點，考查空間想象能力，計算能力．