Question

已知圓C₁：x²+y²+D₁x+8y-8=0，圓C₂：x²+y²+D₂x-4y-2=0．
（1）若D₁=2，D₂=-4，求圓C₁與圓C₂的公共弦所在的直線l₁的方程；
（2）在（1）的條件下，已知P（-3，m）是直線l₁上一點，過點P分別作直線與圓C₁、圓C₂相切，切點為A、B，求證：|PA|=|PB|；
（3）將圓C₁、圓C₂的方程相減得一直線l₂：（D₁-D₂）x+12y-6=0．Q是直線l₂上，且在圓C₁、圓C₂外部的任意一點．過點Q分別作直線QM、QN與圓C₁、圓C₂相切，切點為M、N，試探究|QM|與|QN|的關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）對兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程．
（2）求出兩個圓的圓心坐標與半徑，求出兩個切線長即可證明結果．
（3）求出兩個圓的圓心坐標與半徑，利用切線長與半徑的垂直關系，比較|QM|與|QN|的關系．

解答：解：（1）由題意，∵D₁=2，D₂=-4，
∴圓C₁：x²+y²+2x+8y-8=0，圓C₂：x²+y²-4x-4y-2=0相交，
∴兩圓的方程作差得6x+12y-6=0，
即公式弦所在直線方程為x+2y-1=0．
（2）P（-3，m）是直線l₁上一點，所以m=2
過點P分別作直線與圓C₁、圓C₂相切，切點為A、B，
圓C₁的圓心坐標（-1，-4），半徑為：5；
圓C₂的圓心坐標（2，2），半徑為：

10

．
所以PA²=（-1+3）²+（-4-2）²-25=15．
PB²=（2+3）²+（2-2）²-10=15．
所以|PA|=|PB|；
（3）圓C₁x²+y²+D₁x+8y-8=0，圓心坐標（-

D1

2

，-4），半徑為：

D 2 1 4 +24

；
圓C₂：x²+y²+D₂x-4y-2=0，圓心坐標（-

D2

2

，2），半徑為：

D 2 2 2 +6

．
直線l₂：（D₁-D₂）x+12y-6=0．Q是直線l₂上，設Q（

6

D1-D2

，

1

2

），
|QM|²=(

6

D1-D2

+

D1

2

)2+36+

D12

4

+24與|QN|²=(

6

D1-D2

+

D2

2

)2+

9

4

+

D22

4

+6，
|QM|²-|QN|²=

D 2 1

4

-

D 2 2

4

-

231

4

，
當

D

2 2

-D

2 1

=231時，|QM|=|QN|，
當

D

2 2

-D

2 1

＜231時，|QM|＞|QN|，
當

D

2 2

-D

2 1

＞231時，|QM|＜|QN|．

點評：本題考查圓的方程的綜合應用與圓的位置關系，考查發現問題與解決問題的能力．