Question

（08年浙江卷）（本題14分）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當的長為何值時，二面角的大小為？

Answer 1

【解析】  本題主要考查空間線面關系、空間向量的概念與運算等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力。滿分14分。

方法一：

（Ⅰ）證明：過點作交于，連結，

可得四邊形為矩形，又為矩形，

所以，從而四邊形為平行四邊形，

故．

因為平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：過點作交的延長線于，連結．

由平面平面，，得平面，

從而．

所以為二面角的平面角．

在中，因為，，所以，．

又因為，所以，

從而．

于是．

因為，

所以當為時，二面角的大小為．

方法二：如圖，

以點為坐標原點，以和分別作為軸，軸和軸，

建立空間直角坐標系．設，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以，，從而，，

所以平面．

因為平面，所以平面平面．

故平面．

（Ⅱ）解：因為，，

所以，，從而

解得．

所以，．

設與平面垂直，則，，

解得．

又因為平面，，

所以，得到．

所以當為時，二面角的大小為．