Question

已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有且當(dāng)時(shí)，有且.
(1)判斷的奇偶性；
(2)求在區(qū)間上的最大值；
(3)解關(guān)于的不等式.

Answer 1

(1)奇函數(shù)；(2)；
(3)當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí),

解析試題分析：(1)賦值法：先令，再令
(2)根據(jù) 以及當(dāng) 時(shí)，有 ，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷得出為上的減函數(shù)；并由單調(diào)性求其最值;
(3)由（1）和（2）的結(jié)論，先將不等式化為；再由函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為 關(guān)于的不等式對(duì)的不同取值，分別討論不等式的解.
試題解析：解（1）取則
取
對(duì)任意恒成立 ∴為奇函數(shù).
（2）任取， 則 

 又為奇函數(shù) 
∴在（－∞，+∞）上是減函數(shù).
對(duì)任意，恒有
而
∴在[－3，3]上的最大值為6
（3）∵為奇函數(shù)，∴整理原式得
進(jìn)一步可得 
而在（－∞，+∞）上是減函數(shù)，
 
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí),
考點(diǎn)：1、賦值法解決抽象函數(shù)的有關(guān)問題；2、函數(shù)單調(diào)性的定義；3、分類討論的思想.