Question

(本小題滿分14分) 已知R,函數(x∈R).

（1）當時，求函數f(x)的單調遞增區間;

（2）函數f(x)是否能在R上單調遞減，若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由;

（3）若函數f(x)在上單調遞增，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當時, 函數f(x)在R上單調遞減；（3）

【解析】本試題主要是考察了導數在研究函數中的運用。利用導數求解函數的單調性和研究函數的參數的范圍問題。

（1）直接求解函數的導數，判定導數的正負，得到單調區間，

（2）如果在給定區間單調，則導數恒大于等于零或者恒小于等于零來得到參數的范圍。

（3）同上，結合函數的單調區間，分離參數的思想得到a的范圍。

解: (1) 當時,,

 .--------2分

令,即,即，

解得.函數f(x)的單調遞增區間是.-------4分

(2) 若函數f(x)在R上單調遞減,則對R都成立,-------6分

即對R都成立, 即對R都成立.

,解得.

當時, 函數f(x)在R上單調遞減.---------9分

(3) 解法一：∵函數f(x)在[-1,1]上單調遞增,

對都成立,對都成立.

即對都成立.---------11分

令，則

 解得

.-----------14分

解法二： 函數f(x)在上單調遞增,

對都成立, 對都成立對都成立,即對都成立.----11分

令, 則.------12分

當時，；當時，.

在上單調遞減,在上單調遞增.

，在上的最大值是.

.-----------14分